投资收益率标准差到底该怎么算？

什么是投资收益率标准差？

投资收益率标准差是衡量一项投资或投资组合风险的核心指标,它告诉我们：

• 收益率波动的剧烈程度：标准差越大，说明投资收益率的波动范围越大，可能今天赚5%，明天亏5%，非常不稳定,风险就越高。
• 收益率的“不确定性”：它反映了实际收益率相对于预期（平均）收益率的偏离程度。

一个简单的比喻： 想象两个学生小明和小红,他们期末考试的平均分都是80分。

• 小明：每次考试分数都在78-82分之间，非常稳定，他的成绩“标准差”很小。
• 小红：考试分数波动很大，有时考95分，有时考65分，她的成绩“标准差”很大。

尽管平均分相同，但小红的成绩风险更高，投资也是如此，标准差就是投资成绩的“风险度量衡”。

计算步骤（以单只股票为例）

计算标准差主要分为以下几个步骤：

1. 确定计算周期和收益率：你需要确定计算的时间范围（如过去一年、过去3年等），并收集该资产在每个时间周期（如每天、每周、每月）的历史价格数据。
2. 计算单期收益率：根据价格数据,计算出每个时间周期的收益率。
3. 计算平均收益率：将所有计算出的收益率相加，再除以期数，得到平均收益率（也称为预期收益率）。
4. 计算方差：这是标准差的平方，是计算过程中的关键一步，计算每个收益率与平均收益率的差值，然后对差值进行平方,最后求这些平方值的平均值。
5. 计算标准差：将方差开平方根,最终得到标准差。

详细计算示例

假设我们要计算某只股票过去5个月的月收益率标准差。

第一步：收集数据并计算单期收益率

假设我们有以下5个月的月末股价数据：

我们得到了4个月收益率：5%, -1.90%, 80%, -1.82%。

第二步：计算平均收益率 (μ)

将所有收益率相加后除以期数（这里是4个月）。

μ = (5% + (-1.90%) + 6.80% + (-1.82%)) / 4 μ = (8.08%) / 4 μ = 2.02%

解读：这只股票在过去4个月的平均月收益率为2.02%。

第三步：计算方差 (σ²)

方差是每个收益率与平均收益率之差的平方的平均值。

1. 计算每个收益率与平均收益率的差值：

   • 5% - 2.02% = 2.98%
   • -1.90% - 2.02% = -3.92%
   • 80% - 2.02% = 4.78%
   • -1.82% - 2.02% = -3.84%

2. 对每个差值进行平方：

   • (2.98%)² ≈ 0.0888
   • (-3.92%)² ≈ 0.1537
   • (4.78%)² ≈ 0.2285
   • (-3.84%)² ≈ 0.1475

3. 计算这些平方值的平均值（即方差）：

   • σ² = (0.0888 + 0.1537 + 0.2285 + 0.1475) / 4
   • σ² = 0.6185 / 4
   • σ² ≈ 0.1546

注意：这里的数值是百分比的小数形式（例如5% = 0.05），如果使用百分比计算，方差单位是“%²”，不太直观,所以通常用小数形式计算。

第四步：计算标准差 (σ)

标准差是方差的平方根。

σ = √0.1546 σ ≈ 0.3932

转换为百分比，标准差 ≈ 39.32%。

解读：这只股票在过去4个月，月收益率的标准差约为39.32%，这个数值相对于其2.02%的平均收益率来说非常高，说明该股票在这段时间内价格波动剧烈,风险较高。

重要概念区分：总体标准差 vs. 样本标准差

在统计学中，根据你的数据是总体还是样本,计算方差时分母会不同。

• 总体标准差：当你拥有的数据就是你想分析的全部数据时使用（你想分析这只股票恰好这4个月的全部风险），分母是数据个数 N。

  • 公式： σ² = Σ(xi - μ)² / N

• 样本标准差：当你拥有的数据是从一个更大的总体中抽取的样本时使用（你想用这4个月的数据来推断这只股票未来的风险），分母是数据个数减一 N-1，使用N-1可以更好地估计总体的方差，这个方法被称为“贝塞尔校正”。

  • 公式： s² = Σ(xi - x̄)² / (N-1)

在我们的例子中：

• 如果我们认为这4个月就是全部数据，使用总体标准差，分母为4，最终标准差约为 36%。
• 如果我们认为这4个月是历史样本，用来预测未来，使用样本标准差，分母为3，最终标准差约为 82%。

在实际金融分析中，我们通常使用历史数据作为未来风险的估计，因此更常用的是样本标准差。 许多金融软件和Excel的STDEV.S函数默认计算的就是样本标准差。

如何使用Excel或计算器计算？

手动计算繁琐,实际操作中我们使用工具。

Excel方法

假设你的收益率数据在A2到A5单元格。

1. 计算平均收益率：

   • 在任意单元格输入公式：=AVERAGE(A2:A5)

2. 计算样本标准差（最常用）：

   • 在任意单元格输入公式：=STDEV.S(A2:A5)
   • 这将直接计算出我们例子中约40.82%的结果。

3. 计算总体标准差：

   • 在任意单元格输入公式：=STDEV.P(A2:A5)
   • 这将计算出我们例子中约35.36%的结果。

Python (Pandas) 方法

import pandas as pd
import numpy as np
# 创建一个包含收益率的Series
returns = pd.Series([0.05, -0.019, 0.068, -0.018])
# 计算平均收益率
mean_return = returns.mean()
print(f"平均收益率: {mean_return:.4f}")
# 计算样本标准差 (ddof=1 表示分母为 N-1)
sample_std = returns.std(ddof=1)
print(f"样本标准差: {sample_std:.4f}")
# 计算总体标准差 (ddof=0 表示分母为 N)
population_std = returns.std(ddof=0)
print(f"总体标准差: {population_std:.4f}")

标准差的局限性

虽然标准差是衡量风险的重要工具,但它也有局限性：

• 只衡量波动性，不区分好坏：无论是大幅上涨还是大幅下跌，都会增加标准差，但投资者通常不喜欢下跌,却喜欢上涨。
• 基于历史数据：它假设未来会重复过去,但市场是变化的。
• 不描述极端事件：标准差无法很好地描述“黑天鹅”事件（极端暴跌），为此，金融分析师还会使用最大回撤、VaR (风险价值) 等指标来补充。

投资决策的核心权衡： 投资者通常在追求高平均收益率（高回报）和高标准差（高风险）之间做出权衡，没有“最好”的收益率和标准差，只有最适合你风险承受能力的投资组合。